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  • 您的位置:在点网 > 范文 > 工作意见 > 工业发展意见 > 3.1.1变化率问题,教案 正文 2016-08-29

    3.1.1变化率问题,教案

    相关热词搜索:教案 变化 3.1 变化率与导数教案 1.1.1变化率问题教案 高中变化率问题

    篇一:3.1.1 变化率问题 教案

    3.1变化率与导数

    3.1.1 变化率问题

    一、【创设情境】

    为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,

    随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

    1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

    2、求曲线的切线;

    3、求已知函数的最大值与最小值;

    4、求长度、面积、体积和重心等.

    导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

    导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

    二、新课讲授

    (一)问题提出

    问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

    气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?

    如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3

    分析: r(V)?43?r 33V 4?3V 4?

    (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)

    r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L) 1?0

    (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)

    r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L) 2?1

    可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

    思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

    问题2 高台跳水

    在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1) V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段

    内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

    思考计算: 0?t?0.5和1?t?2的平均速度v

    在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)

    ?4.05(m/s) 0.5?0

    在1?t?2这段时间里,v?

    探究: 计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s) 2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49

    (1)运动员在这段时间内使静止的吗?

    (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

    探究过程: 如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,

    结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m) 65?049

    虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m), 49

    但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

    可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

    (二)平均变化率概念

    1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示, x2?x1

    称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

    2.若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可 用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?x

    ?ff(x2)?f(x1)表示什么? ??xx2?x1思考: 观察函数f(x)的图象 平均变化率

    三、典例分析

    例1 已知函数f(x)??x?x的图象上的一点A(?1,?2)及 2

    ?y?. ?x

    解: ?2??y??(?1??x)2?(?1??x) 临近一点B(?1??x,?2??y)则

    ?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x

    例2 求y?x2在x?x0附近的平均变化率.

    解: ?y?(x0??x)?x0 22

    22x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x ?x?x?x

    所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x 2

    课堂练习

    1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 .

    2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

    3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,

    求出当?x?0.1时割线的斜率.

    四、【课堂小结】

    1.平均变化率的概念.

    2.函数在某点处附近的平均变化率. 322

    篇二:3.1.1变化率问题(学、教案)

    变化率问题

    课前预习学案

    一、 预习目标

    了解平均变化率的定义。

    二、预习内容

    [问题1] 在吹气球问题中,当空气容量V从0增加到1L时,气球的平均膨胀率为__________

    当空气容量V从1L增加到2L时,气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________

    [问题2]在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度h(单位:m)

    与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?

    在0?t?0.5这段时间里,v=_________________

    在1?t?2这段时间里,v=_________________

    在t1?t?t2这段时间里,v=_________________ [问题3]对于公式,应注意:(1)平均变化率公式中,分子是区间两端点间的函数值的差,分母是区间两端点间的_______的差。(2)平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点,减数是左端点,一定要同步。

    ?f

    f(x2)?f(x1)?[问题4] 平均变化率表示什么? ?xx?x A

    x2

    三、提出疑惑

    课内探究学案

    1

    篇三:2014年人教A版选修1-1教案 3.1.1 变化率问题

    3.1.1变化率问题

    教学目标知道平均变化率的定义。

    会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

    教学重点:平均变化率的含义

    教学难点:会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

    教学过程:

    情景导入:

    展示目标: 知道平均变化率的定义。

    会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

    检查预习:见学案

    合作探究:

    探究任务一:

    问题1:气球膨胀率,求平均膨胀率

    吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

    问题2;:在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?

    交流展示:学生交流探究结果,并完成学案。

    精讲精练:

    例1 过曲线y?f(x)?x3上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.

    2例2 已知函数f(x)?x,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率:

    (1)[1,3];

    (2)[1,2];

    (3)[1,1.1];

    (4)[1,1.001]

    有效训练

    练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6

    .

    3 9

    练2. 已知函数f(x)?2x?1,g(x)??2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的

    平均变化率.

    反思总结

    1.函数f(x)的平均变化率是2.求函数f(x)的平均变化率的步骤: 12 T(月)

    (1)求函数值的增量(2)计算平均变化率

    篇四:3.1.1变化率问题学案

    泰安五中数学学科高二学案

    3.1.1变化率问题

    编制者:戚桂林 编制时间:2015年1月11日 审定学习目标:

    1.理解平均变化率的概念;

    2.了解平均变化率的几何意义;

    3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

    ㈠ 预习导学

    一、学习背景

    为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

    1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

    2、求曲线的切线;

    3、求已知函数的最大值与最小值;

    4、求长度、面积、体积和重心等.

    导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

    导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

    【自主梳理】

    问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

    分析: (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了

    气球的平均膨胀率为

    (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

    可以看出:思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率

    是多少?

    问题2 高台跳水

    在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0?t?0.5和1?t?2的平均速度

    计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运49

    动员在这段时间内使静止的吗?

    (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

    平均变化率概念

    1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,称为函数f(x)从x1x2?x1

    到x2的平均变化率.

    2.若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?? ??x?xx2?x1?x

    ?ff(x2)?f(x1)?表示什么? ?xx2?x1思考: 观察函数f(x)的图象 平均变化率

    ㈡ 课堂导学

    【合作探究】

    例1 已知函数f(x)??x2?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则?y?. ?x

    解:

    例2 求y?x2在x?x0附近的平均变化率.

    解:

    【反馈训练】

    1.质点运动规律为s?t2?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 .

    2.物体按照s(t)?3t2?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

    3.过曲线y?f(x)?x3上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线, 求出当?x?0.1时割线的斜率.

    【我的收获】

    ㈢ 课后导学

    【巩固提升】

    1. 设函数y?f?x?,当自变量x由x0改变到x0??x时,函数的改变量?y为( )

    A f?x0??x? B f?x0???x C f?x0???x D f?x0??x??f?x0?

    2. 一质点运动的方程为s?1?2t2,则在一段时间?1,2?内的平均速度为( )

    A -4 B -8 C 6 D -6

    3. 将半径为R的球加热,若球的半径增加?R,则球的表面积增加

    ) ?S等于(

    A 8?R?R B 8?R?R?4???R?2 C 4?R?R?4???R?2 D 4???R?2 4.

    则在曲线y?x2?1的图象上取一点(1,2)及附近一点?1??x,2??y?,?y为( ) ?x

    111A ?x??2 B ?x??2 C ?x?2 D 2??x? ?x?x?x

    5.函数y?f?x?的平均变化率的物理意义是指把y?f?x?看成物体运动方程时,在区间

    ?t1,t2?内的6.函数y?f?x?的平均变化率的几何意义是指函数y?f?x?图象上两点P1?x1,f?x1??、

    P2?x2,f?x2??连线的7.函数y?3x2?2x?8在x1?3处有增量?x?0.5, 则f?x?在x1到x1??x上的平均变化率是

    篇五:3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)

    3.1 变化率与导数

    3.1.1 变化率问题

    3.1.2 导数的概念

    (教师用书独具)

    ●三维目标 1.知识与技能

    通过大量的实例的分析,让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数.

    2.过程与方法

    通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.

    3.情感、态度与价值观

    学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中,通过动手算、动脑思和集体合作讨论,发展思维能力,树立敢于战胜困难的信息,养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯,激发求知欲,增强合作交流意识.

    ●重点、难点

    重点:了解导数概念的形成,理解导数有内涵.

    难点:在平均变化率的基础上探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵.

    通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解,以化解重点;通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点.

    (教师用书独具)

    ●教学建议

    学生对平均变化率已有了很好的认识,同时在物理课程中已学习过瞬时速度,因此,学生已经具备了一定的认知基础,于是,在教学设计中,宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法,本着为学生发展的原则,通过师生互动、共同探索,形成概念,并学以致用.在学生的认知基础上,为了让学生明确导数就是瞬时变化率,函数f(x)在x=x0处的导数反映了函数f(x)在x=x0处附近变化的快慢,从而更好地理解导数的概念.在学法指导上,应回避了学生较难理解的极限思想,而是通过让学生体验逼近的思想,让他们通过自主探究,发现导数的内涵.使学生在学习过程中探究能力,分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升.

    ●教学流程

    创设问题情境,引出问题:如何刻画物体运动的快慢?

    引导学生结合物理知识,分析、比较,引出平均变化率与瞬时变化率的概念.通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率,得出导数的概念.通过例1及其变式训练,使学生掌握如何计算平均变化率.

    通过例2及其变式训练,使学生掌握求瞬时速度的方法,为求导数打下基础.通过例3及其变式训练,学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

    ???????

    (对应学生用书第45页)

    【问题导思】

    实例:(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加的会越来越慢.

    (2)从高空放下一件物体,随着时间的变化,物体下降的速度会越来越快. 1.如何用数学的观点刻画物体运动的快慢? 【提示】 可以运用平均变化率来刻画.

    2.实例(2)中,当t1≈t2时刻时,平均变化率有什么样的特点? 【提示】 平均变化率接近t1或t2时刻的速度. 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 Δyf?x2?-f?x1?

    (1)=Δxx2-x1

    (2) (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 (1)定义式:lim →

    Δx0

    f?x0+Δx?-f?x0?Δy

    lim . ΔxΔx→0Δx

    (2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.

    函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x→0 f′(x0)=liΔxm

    f?x0+Δx?-f?x0?Δy

    →0 =liΔxm.

    ΔxΔx

    (

    对应学生用书第45页)

    求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx3

    均变化率最大?

    【思路探究】 (1)Δx、Δy分别为多少?(2)平均变化率怎么求?(3)哪一点附近的平均变化率大?

    【自主解答】 在x=1附近的平均变化率为 f?1+Δx?-f?1??1+Δx?2-1k1=2+Δx;

    ΔxΔx在x=2附近的平均变化率为

    f?2+Δx?-f?2??2+Δx?2-22

    k2=4+Δx;

    ΔxΔx在x=3附近的平均变化率为

    f?3+Δx?-f?3??3+Δx?2-32

    k3=6+Δx.

    ΔxΔx1

    若Δx,

    3

    17113119

    则k1=2+,k2=4,k3=6+=.

    333333由于k1<k2<k3,

    故在x=3附近的平均变化率最大.

    1.解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx与函数值的增量Δy. 2.求函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量:Δx=x2-x1. (2)求函数值的增量:Δy=f(x2)-f(x1). Δyf?x2?-f?x1?

    (3)=Δxx2-x1

    πππ

    求函数y=sin x在0到之间的平均变化率,并比较它们的大小.

    632π

    sin-sin 06π3

    【解】 函数y=sin x在0=,

    6ππ

    -06ππsin-sin233?2-3?ππ

    在. 32πππ

    -2333?2-3?

    ∵2<1,∴>.

    ππ

    3?2-3?π3ππ

    ∴函数y=sin x在0到6π32π

    π

    且在0到

    6

    ?3t2+2 ?t≥3??s=? 2

    ?29+3?t-3?

    50px" width="450px" alt="3.1.1变化率问题 教案" title="3.1.1变化率问题 教案"/>

    ?0≤t<3??

    求(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度. (2)物体的初速度v0.

    【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式?(2)物体的初速度v0的含义是什么?如何去求?

    【自主解答】 (1)∵物体在t∈[3,5]内时,s=3t2+2,且时间增量Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为

    Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 Δs48

    =24(m/s). Δt2

    (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为 Δsf?0+Δt?-f?0? ΔtΔt

    29+3[?0+Δt?-3]2-29-3?0-3?2==3Δt-18,

    Δt∴物体在t=0处的瞬时变化率为 →0 liΔtm

    Δs

    →0 (3Δt-18)=-18, =

    liΔtm

    Δt

    即物体的初速度为-18 m/s.

    1.解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率,而第(2)问实际上是求t=0时的瞬时速度(即瞬时变化率).

    2.求瞬时速度应先求平均速度v=

    ΔsΔs

    →0 ,求得瞬时速度. ,再用公式v=liΔtm

    3.如果物体的运动方程是s=s(t)

    ,那么函数s=s(t),在t=t0处的导数,就是物体在t=t0时的瞬时速度.

    一辆汽车按规律s=2t2+3做直线运动,求这辆车在t=2时的瞬时速度(时间单位:s,

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