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  • 您的位置:在点网 > 范文 > 工作意见 > 工业发展意见 > 3.1.1数系的扩充和复数的概念教案 正文 2016-09-08

    3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

    相关热词搜索:复数 扩充 教案 概念 3.1 复数的几何意义教案 共轭复数 复数的概念及运算

    篇一:3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)

    3.1.1 数系的扩充与复数的引入

    教学目标】

    1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类表;

    2.理解复数的有关概念以及符号表示;

    3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念;

    4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

    【学情分析】

    学生为文科普通版班学生,基础较差,理解力一般,且个别学生学习积极性不够高。

    【重点难点】

    教学重点:引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念。

    教学难点:复数概念的理解。

    【教学过程】

    【导入】知识形成过程

    1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生进行简明扼要的概括和总结)

    自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数

    2.提出问题

    我们知道,对于实系数一元二次方程x?1?0,没有实数根。我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?

    【活动】组织讨论,研究问题

    我们说,实系数一元二次方程x?1?0没有实数根。实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数。解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?

    组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1的开平方问题。即一个什么样的数,它的平方会等于-1。

    【讲授】引入新数

    1.引入新数i,并给出它的两条性质

    根据前面讨论结果,我们引入一个新数i,i叫做虚数单位,并规定:

    (1)i??1;

    (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立。

    有了前面的讨论,引入新数i,可以说是水到渠成的事。这样,就可以解决前面提出的问题(?1可以开平方,而且?1的平方根是?i)。

    2.提出复数的概念

    根据虚数单位i的第(2)条性质,i可以与实数b相乘,再与实数a相加。由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a?bi这样,数的范围又扩充了,出现了形如222a?bi(a,b?R)的数,我们把它们叫做复数。

    3.巩固练习:教材P.52练习1

    【讨论】

    1.复数a?bi(a,b?R)能否表示实数?

    2.判断:

    (1)若a?0,则z?a?bi(a,b?R)为纯虚数;

    (2)若z?a?bi(a,b?R)为纯虚数,则a?0,故a?0是z?a?bi(a,b?R)为纯虚数的 条件;

    3.复数的分类;

    4.练习巩固:P.52练习2;

    【讲授例题】

    例1.(教材P.51例题)

    提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。也就是a?bi?c?di???a?c,(a,b,c,d?R)

    ?b?d.

    例2.已知(2x?1)?i?y?(3?y)i,其中x,y?R,求x,y.

    【当堂练习】

    1.a?0是复数a?bi(a,b?R)为纯虚数的 ()

    A 必要条件 B 充分条件

    C 充要条件 D 非必要非充分条件

    2.以3i?2的虚部为实部,以3i?3i的实部为虚部的复数是 ( )

    A ?2?3iB 3?3i

    C ?3?3iD 3?3i

    3.若复数(a?3a?2)?(a?1)i是纯虚数,则实数a的值为

    4.复数4?3a?ai与复数a?4ai相等,则实数a的值为

    【课堂小结】

    (1)虚数单位i的引入;

    (2) 复数的有关概念:

    复数的代数形式z?a?bi(a,b?R)

    复数的分类

    复数相等的充要条件

    【教学反思】

    一方面,通过这节课的学习,让学生初步了解了数的发展历程,感受了数学思想和数学文化,还让学生懂得如何发现问题和解决问题,在今后的学生生活中有很重要的意义。另一方面,教师在新授课上课时,要遵循事物的客观规律,遵循学生的认知规律,不可将新知识2222

    篇二: 3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

    高效课堂一体化教学案·高二数学

    高二年级数学人教版选修2-2教案

    篇三: 3.1.1数系的扩充和复数的概念学案

    高效课堂一体化教学案·高二数学

    高二年级数学人教版选修2-2学案

    篇四: 3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

    第3章 数系的扩充与复数的引入

    3.1.1数系的扩充和复数的概念

    【教学目标】

    1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程

    以及复数的分类表;

    2.理解复数的有关概念以及符号表示;

    3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念;

    4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数

    的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以

    及数与现实世界的联系.

    【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念.

    【教学难点】复数概念的理解.

    【教学过程】

    1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生

    进行简明扼要的概括和总结) 有理数 无理数 实数

    2.提出问题

    2 我们知道,对于实系数一元二次方程x?1?0,没有实数根.我们能否将

    实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?

    3.组织讨论,研究问题

    2x 我们说,实系数一元二次方程?1?0没有实数根.实际上,就是在实数

    范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个

    什么问题呢?

    组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1

    的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1.

    4.引入新数i,并给出它的两条性质

    根据前面讨论结果,我们引入一个新数i,i叫做虚数单位,并规定:

    (1)i??1; 2

    (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律

    仍然成立.

    有了前面的讨论,引入新数i,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决

    前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是?i).

    5.提出复数的概念

    根据虚数单位i的第(2)条性质,i可以与实数b相乘,再与实数a相加.由

    于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a?bi这样,数的范围又

    扩充了,出现了形如 a?bi(a,b?R)的数,我们把它们叫做复数.

    全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,显然有: N*N

    ZQRC.

    【巩固练习】

    下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分

    别指出这些复数的实部与虚部各是什么?

    1?

    例1.实数m分别取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是

    (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 2??i,i?2,0,i2,sin?icos766

    分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实、虚数、纯

    虚数与零的条件可以确定实数m的值.

    解(1)当m?1?0,即m?1时,z为实数;

    (2)当m?1?0,即m?1时,z为虚数;

    ?m?1?0(3)当?,即m??1时,z为纯虚数.m?1?0?

    练习:已知复数z?m2(1?i)?(m?i)且m?R,当m为何值时,复数z是(1)虚数;(2)纯虚数

    6.提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部

    分别对应相等.也就是

    由此容易得出:

    例2 已知(2x?1)?i?y?(3?y)i,其中,x,y?R,求x与y.

    分析:因为x,y∈R,所以由两个复数相等的定义,可列出关于x,y的方程组,

    解这个方程组,可求出x,y的值.

    解:由复数相等可知

    ?2x?1?y 5解得x?,y?4?2?1??(3?y)

    练习:已知x2?(1?2i)x?3mi?2i?0(m?R),求实数m的值.

    【课堂游戏】

    【想一想】两个复数是否可以比较大小.

    【归纳总结】

    一、数系的扩充;

    二、复数有关的概念:

    1、复数的代数形式;

    2、复数的实部、虚部。

    3、虚数、纯虚数;

    4、复数的相等.

    【布置作业】

    习题3.1A组1 2 3

    篇五: 3.1.1数系的扩充和复数的概念讲课教案

    高中数学人教A版选修2-2

    3.1.1数系的扩充和复数的概念

    江陵二中数学组 徐勤丰

    【教材分析】

    新课程中复数内容突出复数的代数表示,同时也强调了复数的几何意义.它的内容是分层设计的:先将复数看成是有序实数对,再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量,最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义。同时,复数作为一种新的数学语言,也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法,

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    体现了数形结合思想。

    本节课的学习,一方面让学生回忆数系扩充的过程,体会虚数引入的必要性和合理性。另一方面,让学生理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,为今后的学习奠定基础。因此,本节课具有承前启后的作用,是本章的重点内容。

    【教学目标】

    1、理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件。

    2、让学生回忆、归纳数系扩充的过程,感悟数系扩充的基本方法,领悟复数的有关理论。

    3、通过问题情境感受虚数引入的必要性,体会人类理性思维的作用,形成学习数学知识的积极态度。

    【教学重点】

    感受数系扩充的过程,理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件。

    【教学难点】

    数系扩充的过程与原则。

    【教学方法】结合以上教学问题诊断分析,本节课的教法主要采用问题驱动教学模式。通过设置问题串,让学生形成认知冲突;通过设置问题串,引领学生追溯历史,提炼数系扩充的原则;通过设置问题串,帮助学生合乎情理的建立新的认知结构,让数学理论自然诞生在学生的思想中。

    【教学过程】

    1、设置情境,再现历史

    五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题:

    问题1 将10分成两部分,使两者的乘积为40.

    问题2 有没有两个数之和为10呢?之积为40呢?

    问题3 那为什么刚才的问题无解呢?

    2、设计问题,追溯历史

    问题4 实数集中有没有这两个数?

    问题5 数集经历了哪几次扩充?

    1)、自然数的产生

    2)、负 数 的 出 现(负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾)

    3)、分 数 的 出 现(分数的引入, 解决了在整数集中不能整除的矛盾)

    4)、关于无理数的发现(无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾)

    问题6 每一次扩充分别解决了哪些问题?

    问题7 这几次扩充有什么共同的特点?

    3、借鉴历史,生成理论

    问题8 你能写出卡当要找的数吗?(我们引入什么样的数,才能解决负数不能开平方的矛盾呢?)

    1545年,卡尔丹在《大衍术》中写道:“要把10分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了。”

    10?5??5? 40?5?5

    能作为“数”吗?

    1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数

    1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 规定: i2=-1 称i为虚数单位 新数 i 叫做虚数单位,并规定:

    (1)i 2 ? ?1;

    (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立。

    问题9 你还能写出其他含有i的数吗?

    问题10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗?

    1、复 数 的 概 念:(1)形如a+bi的数叫复数, 用字母 z 表示。 ?

    ?

    ?

    (2)形如a?bi(a,b?R)的数叫复数,a叫复数的实部,b(3)全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示

    2、复数的分类

    3、复数相等的定义

    4、复数的定位

    4、精选例题,学以致用

    为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习:

    例1、请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C.

    例2、写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2?3i,0,?

    例3、实数m取什么值时,复数z?m(m?1)?(m?1)i是:(1)实数? (2)虚数? (3

    )14?

    i,5,6i,2i2 23

    纯虚数?

    例4、已知(x?y)?(x?2y)i?(2x?5)?(3x?y)i,求实数x,y的值.

    5、巩固练习:

    1、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足( )

    A.x=-11 B.x=-2或- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2 22

    2、已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3}.M∩P={3},则实数m的值为( )

    A.-1 B.-1或4 C.6 D.6或-1

    3、满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是______.

    4、复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是______.

    5、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数,求m的值.

    6、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.

    7、已知m∈R,复数z=m(m?2)+(m2+2m-3)i,当m为何值时, m?1

    6、反思总结,提炼收获

    这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。

    复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身发展的需要;介绍数的概念的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚

    3.1.1数系的扩充和复数的概念学案

    1、设置情境,再现历史

    五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题:

    问题1 将10分成两部分,使两者的乘积为40.

    问题2 有没有两个数之和为10呢?之积为40呢?

    问题3 那为什么刚才的问题无解呢?

    2、设计问题,追溯历史

    问题4 实数集中有没有这两个数?

    问题5 数集经历了哪几次扩充?

    1)、自然数的产生

    2)、负 数 的 出 现(负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾)

    3)、分 数 的 出 现(分数的引入, 解决了在整数集中不能整除的矛盾)

    4)、关于无理数的发现(无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾)

    问题6 每一次扩充分别解决了哪些问题?

    问题7 这几次扩充有什么共同的特点?

    3、借鉴历史,生成理论

    问题8 你能写出卡当要找的数吗?(我们引入什么样的数,才能解决负数不能开平方的矛盾呢?)

    1545年,卡尔丹在《大衍术》中写道:“要把10分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了。”

    10?5??5? 40?5?5

    能作为“数”吗?

    1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数

    1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 规定: i2=-1 称i为虚数单位 新数 i 叫做虚数单位,并规定:

    (1)i 2 ? ?1;

    (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立。

    问题9 你还能写出其他含有i的数吗?

    问题10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗?

    1、复 数 的 概 念:(1)形如a+bi的数叫复数, 用字母 z 表示。 ?

    ?

    ?

    (2)形如a?bi(a,b?R)的数叫复数,a叫复数的实部,b(3)全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示

    2、复数的分类

    3、复数相等的定义

    4、复数的定位

    4、精选例题,学以致用

    为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习:

    例1、请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C.

    例2、写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2?3i,0,?

    例3、实数m取什么值时,复数z?m(m?1)?(m?1)i是:(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

    例4、已知(x?y)?(x?2y)i?(2x?5)?(3x?y)i,求实数x,y的值.

    5、巩固练习:

    1、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足( )

    A.x=-14?

    i,5,6i,2i2 2311 B.x=-2或- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2 22

    2、已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3}.M∩P={3},则实数m的值为( )

    A.-1 B.-1或4 C.6 D.6或-1

    3、满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是______.

    4、复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是______.

    5、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数,求m的值.

    6、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实数m的值.

    7、已知m∈R,复数z=

    m(m?2)+(m2+2m-3)i,当m为何值时, m?1

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