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  • 您的位置:在点网 > 范文 > 公文文书 > 合同范本 > 1.2.2组合,教案 正文 2016-09-23

    1.2.2组合,教案

    相关热词搜索:组合 教案 1 2 芭蕾基训控制组合教案 音质组合法教案 感统万象组合教案

    篇一:1.2.2组合(教案)

    1. 2.2组合

    教学目标:

    知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

    区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

    m

    过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数?m之间的联系,掌握组合数公Cnn与组合数

    式,能运用组合数公式进行计算。

    情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:教学难点:授课类型:新授课教 具:多媒体、实物投影仪 第一课时(转载于:www.zaIdian.cOM 在点 网:1.2.2组合,教案)

    一、复习引入:

    做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种

    不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,??,在第n类办法中有mn种不同的 N?m1?m2?

    ?mn2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N?m1?m2?

    ?mn 种不同的方法3.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的.....4.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫

    m做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号Anm

    5.排列数公式:An?n(n?1)(n?2)

    (n?m?1)(m,n?N?,m?n)

    n!表示正整数1到n的连乘积,叫做n0!?1.

    m7.排列数的另一个计算公式:An=

    n!

    (n?m)!

    8.提出问题:

    示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

    示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例

    2只要求选出2..

    二、讲解新课:

    一般地,从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组,叫做从n个不

    同元素中取出m个元素的一个说明:⑴例1.判断下列问题是组合还是排列

    (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

    (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?

    (3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合

    2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数,叫做从n 个

    m不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示. ...

    7

    例2.用计算器计算C10.

    解:由计算器可得

    74例3.计算:(1)C7; (2)C10;

    7?6?5?4

    =35;

    4!

    10?9?8?7?6?5?47

    (2)解法1:C10?=120.

    7!

    10!10?9?87

    ? 解法2:C10?=120. 7!3!3!

    (1)解: C7?

    4

    第二课时

    3.组合数公式的推导:

    3

    (1)从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢?

    3启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以.........

    33求得,故我们可以考察一下C4和A4的关系,如下:

    组 合排列

    abc?abc,bac,cab,

    abd?abd,bad,dab,

    acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,

    acb,adb,adc,bdc,

    bca,bda,cda,cdb,

    cbadba dcadcb

    由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个

    3

    元素的排列数A4,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有33

    个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有A3种方法.由分步计数原理得:C4

    A

    34=

    C?A

    343

    3,所以,

    3A4

    C?3.

    A334

    m

    (2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An,可以分如下两步: m① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn;

    mmmm② 求每一个组合中m个元素全排列数Am,根据分步计数原理得:An=Cn. ?Am

    (3)组合数的公式:

    Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1)

    C?m?

    Amm!

    mn

    或Cn?

    m

    n!

    (n,m?N?,且m?nm!(n?m)!

    规定: Cn?1.

    三、讲解范例:

    例4.求证:Cn?证明:∵Cn?

    m

    m

    m?1m?1

    ?Cn. n?m

    n!

    m!(n?m)!

    m?1

    ?Cn?m

    m?1n

    ?

    m?1n!

    ?

    n?m(m?1)!(n?m?1)!

    m?1n!

    ?

    (m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!

    m!(n?m)!

    ∴Cn?

    m

    m?1m?1

    ?Cn n?m

    x?12x?3

    例5.设x?N?, 求C2x?3?Cx?12x?3?x?1 解:由题意可得:? ,解得2?x?4, ?

    x?1?2x?3?

    ∵x?N?,∴x?2或x?3或x?4,

    当x?2时原式值为7;当x?3时原式值为7;当x?4时原式值为11.

    ∴所求值为4或7或11.

    第三课时

    例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:

    (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?

    (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

    分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.

    解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .

    (2)教练员可以分两步完成这件事情:

    11

    第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有C17种选法; 1第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有C11种选法.

    所以教练员做这件事情的方法数有

    111

    =136136(种). C17?C11

    例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?

    (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

    解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有

    C

    210

    ?

    10?9

    ?45(条). 1?2

    (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有

    2A10?10?9?90(条).

    例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .

    (1)有多少种不同的抽法?

    (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

    解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有

    C

    3100

    ?

    100?99?98

    = 161700 (种).

    1?2?3

    1

    (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格2品的抽法有C98种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有

    12

    =9506(种). C2?C98

    篇二:选修2-3教案1.2.2组合 教学设计

    2-3:1.2.2组合教学设计(3课时)

    课标要求:通过实例,理解组合的概念;能利用计数原理推导组合数公式,并能解决简单的实际问题。 教材分析:组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.本节内容与本章其他内容有着紧密的联系,组合数公式的推导要依据排

    列数公式;二项式系数是一组有规律的组合数,在推导二项式定理、研究二项式系数的性质时都用到了组合数的性质(第二课时);在求等可能事件的概率时,常涉及组合数的计算。

    学生分析:从学生的现有知识水平看,在学习本节前,学生已用了2个课时学习了两个基本计数原理、3个课时学习了“排列”。绝大多数学生能正确运用两个计数原理,能正确理解排列、排列数的概念,能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则,解决典型的排列问题。 教学目标:

    知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别,能

    判断一个问题是排列问题还是组合问题。

    m

    过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数?m之间联系,掌握组合数公式,能运用组Cnn与组合数

    合数公式进行计算。

    情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:教学难点:教学建议:本节课教学要借助已有的知识,通过类比、归纳,帮助学生理解组合的概念;从能力的角度看,学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力,教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生的主动探究,借助小组讨论、全班交流,培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。教学过程:

    一、复习引入:

    n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方

    法,在第二类办法中有m2种不同的方法,??,在第n类办法中有mn共有 N?m1?m2???mn2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有

    N?m1?m2???mn 种不同的方法3.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m.....

    4.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元

    m

    素中取出m元素的排列数,用符号Anm

    5.排列数公式:An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(m,n?N?,m?n)

    n!表示正整数1到n的连乘积,叫做n0!?1.

    m7.排列数的另一个计算公式:An=

    n!

    (n?m)!

    8.提出问题: 示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

    示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2..

    二、讲解新课:

    n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取

    出m例1.判断下列问题是组合还是排列

    (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

    (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?

    (3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合

    2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元

    m

    素中取出m个元素的组合数.用符号表示. Cn...

    3.组合数公式的推导:

    (1)从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢?

    启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得,故我.........们可以考察一下C4和A4的关系,如下:组 合排列

    abc?abc,bac,cab,

    abd?abd,bad,dab,

    acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,

    acb,adb,adc,bdc,

    bca,bda,cda,cdb,

    cbadba dcadcb

    3

    3

    3

    3

    由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列

    33数A4,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有C4个;② 对每一个

    3

    A4

    C?3.A3

    组合的3个不同元素进行全排列,各有A

    33

    由分步计数原理得:4=3种方法.

    AC?A

    3

    433

    所以,43,

    m

    (2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An,可以分如下两步: m① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn;

    mmmm② 求每一个组合中m个元素全排列数Am,根据分步计数原理得:An=Cn. ?Am

    (3)组合数的公式:

    Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)

    C?m?

    Amm!

    mn

    或Cn?

    m

    n!

    (n,m?N?,且m?nm!(n?m)!

    规定: Cn?1.

    三、讲解范例:

    47

    例2.计算:(1)C7; (2)C10;

    7?6?5?4

    =35;

    4!

    10?9?8?7?6?5?47

    (2)解法1:C10?=120.

    7!

    10!10?9?87

    ? 解法2:C10?=120. 7!3!3!m?1m?1m

    ?Cn. 例3.求证:Cn?

    n?m

    (1)解: C7?

    4

    证明:∵Cn?

    m

    n!

    m!(n?m)!

    m?1n!

    ? n?m(m?1)!(n?m?1)!

    m?1

    ?Cn?m

    m?1n

    ?

    m?1n!

    ?

    (m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!

    m!(n?m)!

    ∴Cn?

    m

    m?1m?1

    ?Cn n?m

    x?12x?3

    例5.设x?N?, 求C2?Cx?3x?12x?3?x?1 解:由题意可得:? ,解得2?x?4, ?

    ?x?1?2x?3

    ∵x?N?,∴x?2或x?3或x?4,

    当x?2时原式值为7;当x?3时原式值为7;当x?4时原式值为11. ∴所求值为4或7或11.

    例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:

    (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情? 分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.

    解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情:

    11

    第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有C17种选法; 1第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有C11种选法.

    所以教练员做这件事情的方法数有

    111

    =136136(种). C17?C11

    例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?

    (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

    解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有

    C

    210

    ?

    10?9

    ?45(条). 1?2

    (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有

    2A10?10?9?90(条).

    例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1)有多少种不同的抽法?

    (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

    解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有

    C

    3100

    ?

    100?99?98

    = 161700 (种).

    1?2?3

    1

    (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有

    2

    种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C98

    12

    =9506(种). C2?C98

    (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2 件次品两

    12

    种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2种,因此根据分类加法计数原理,?C98

    抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有

    121

    +C2C2?C982?C98=9 604 (种) .

    解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法

    种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即

    33

    =161 700-152 096 = 9 604 (种). C100?C98

    说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。

    变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?

    (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选; (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选; 例9.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?

    222解:C6?C4?C2?90.

    (2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?

    解:问题可以分成2类:

    22

    第一类 2名男生和2名女生参加,有C5C4?60中选法; 31第二类 3名男生和1名女生参加,有C5C4?40依据分类计数原理,共有100211错解:C5C4C6?240例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?

    2112

    解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有C4,C4,C4, ?C6?C62112所以,一共有C4+C4+C4=100种方法. ?C6?C6

    3

    3

    解法二:(间接法)C10?C6?33

    组合数的性质1:Cn?Cn

    mn?m

    一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下n?m个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m....个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数,即:Cn?Cn体现:mn?m

    .在这里,主要

    篇三:1.2.2组合教学案

    1.2.2《组合》教学案

    【课标要求】

    1、通过实例,理解组合的概念;

    2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题.

    【教学目标】

    1、 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式;

    2、 推导组合数的两个计算公式;

    3、 能正确认识组合与排列的联系与区别.

    【教学重难点】

    1、教学重点

    (1)根据两个计数原理和排列数公式得到组合数公式;

    (2)应用组合知识解决简单的实际问题.

    2、教学难点

    (1)建立组合与排列的联系,结合两个计数原理推导组合数公式;

    (2)根据实际问题的特征,正确地区分“排列”或“组合”.

    【学习过程】

    一、复习回顾

    1、排列的概念

    2、排列数的概念

    3、排列数公式

    二、探究教学

    (一)问题情境

    问题一:

    从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的

    活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

    问题二:

    从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,有多少种不同的选法?

    思考1:问题一与问题二的方法数相同吗?二者有什么不同之处?

    问题一本质:从已知的3 不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.

    问题二本质:从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组.

    (引导学生注意问题一和问题二的不同之处:前者有顺序,后者无顺序.)

    .

    (二)组合的概念

    一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中

    取出m个元素的一个组合.

    (对比“排列”的概念,引导学生思考以下问题,思考2,3,4.)

    思考2:排列和组合有什么共同点和不同点?

    思考3:ab与ba是相同的排列吗?是相同的组合吗?为什么?

    思考4:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

    (通过以上思考,得到两个相同排列和两个相同组合的特点如下.)

    排列:(1)元素相同;(2)元素排列

    组合:元素相同

    思考5:判断下列问题是排列问题还是组合问题?

    (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?

    (2)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?

    (3)10支球队以主客场制进行比赛,共多少场比赛?

    如果10支球队以单循环制进行比呢?

    (思考5对排列和组合的概念进行辨析,让学生学会正确的区分排列和组合,突破难点.)

    (三)组合数的概念

    一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同

    m元素中取出m 个元素的组合数,用符号Cn表示.

    问题三:写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.

    (引导学生利用树形图表示,得到从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合.)

    思考6:问题二、问题三的结果用组合数分别记为什么?

    (让学生初步学会使用组合数符号.)

    问题四:写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列.

    (引导学生用树形图表示,得到从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列.)

    组合与排列的联系:

    元素相同,顺序不同的两个组合相同;元素相同,顺序不同的两个排列不同.

    (通过以上关系,引导学生按照元素相同对以上排列进行分类,即思考7.)

    思考7:按照“元素相同”怎样对以上排列进行分类?

    (上述框图用一种能够使人很明显地看出其来历,于是引导学生利用框图得到一些数之间的关系.)

    思考8:每一个组合对应了多少个排列?

    思考9:组合数4,排列数24,一个组合对应的排列数6,这些数字有什么关系?

    从中你能发现什么?

    (引导学生从数的特点发现关系,得到特定例子的结论,为得到一般性的结论做铺垫.)

    33思考10:由A3

    4=C4?A3等式右边的乘号联想到了哪一个计数原理?对等式右边

    可以作何种解释呢?

    (等式两边是对同一个问题作出的两个等价的解释,不仅加深了我们的理解,而且使我们找到了一种解决问题的方法,“从另一个角度解释问题”是很重要的思想方法,教学时要注意渗透这种思想.)

    m思考11:按照以上思路,对于An我们应该作何种解释?

    (由特殊到一般,得到普适性的结论.)

    (四)组合数公式

    Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)m Cn?m?Amm! n! Cm?nm!(n?m)!

    0规定:Cn?1

    1n(引导学生利用公式得到,Cn和Cn的值.)

    1特别地:m=1时,Cn?n;

    n m=n时,Cn=1.

    (五)例题教学

    74例1、 计算(1)C7(2)C10的值

    (强化公式记忆.)

    例2、 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球

    比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人,问:

    (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?

    (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做

    这件事?

    (初步让学生体会公式的应用.)

    (六)课堂演练

    (有了上面的例子,学生掌握情况如何,还要通过相似题型让学生练习才能知道.)

    3231、计算(1)C8(2)C7的值. ?C6

    2、已知平面内A,B,C,D这四个点中的任何三点都不在一条直线上,写出有其中每3点为顶点的所有三角形.

    3、学校开设了6门任意选修课,要求每个学生从中选学3门,共有多少种不同的选法?

    (七)课堂小结

    (对本节课的知识进行回顾,做到知识点心中有数.)

    1、组合的概念

    2、组合与排列的联系与区别

    3、组合数的概念

    4、组合数公式

    篇四:选修2-3教案1.2.2组合

    1.2.2组合

    教学目标:

    知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

    区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

    m

    过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数?n与组合数 之间的联系,掌握组合数公Cn

    m

    式,能运用组合数公式进行计算。

    情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:教学难点:授课类型:新授课课时安排:2课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:

    排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定

    义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.

    指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.

    能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

    学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程:

    一、复习引入:

    做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种

    不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,??,在第n类办法中有mn种不同的 N?m1?m2???mn2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同

    的方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法3.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的.....4.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号Anm

    5.排列数公式:An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(m,n?N,m?n) n!表示正整数1到n的连乘积,叫做n0!?1.

    m?

    7.排列数的另一个计算公式:An=

    m

    n!

    (n?m)!

    8.提出问题:

    示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

    示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2..

    二、讲解新课:

    一般地,从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组,叫做从n个不

    同元素中取出m个元素的一个说明:⑴例1.判断下列问题是组合还是排列

    (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

    (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?

    (3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合

    2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示. ...3.组合数公式的推导:

    (1)从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢?

    3

    m

    启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以.........求得,故我们可以考察一下C4和A4的关系,如下:组 合排列

    abc?abc,bac,cab,

    abd?abd,bad,dab,

    acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,

    acb,adb,adc,bdc,

    bca,bda,cda,cdb,

    cbadba dcadcb

    3

    3

    3

    由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有

    33

    C4个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有A3种方法.由分步计数原理得:

    3

    A

    34=

    3A4

    C?A,所以,C?3.

    A334

    33

    34

    (2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An,可以分如下两步: ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn;

    ② 求每一个组合中m个元素全排列数Am,根据分步计数原理得:An=Cn?Am. (3)组合数的公式:

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)

    C?m?

    Amm!

    mn

    或Cn?

    m

    n!

    (n,m?N?,且m?nm!(n?m)!

    规定: Cn

    ?1. 三、讲解范例:

    例2.用计算器计算C10. 解:由计算器可得

    例3.计算:(1)C7; (2)C10;

    4

    7

    7

    7?6?5?4

    =35;

    4!

    10?9?8?7?6?5?47

    (2)解法1:C10?=120.

    7!

    (1)解: C7?

    4

    7

    解法2:C10?

    10!10?9?8

    =120. ?

    7!3!3!m?1m?1

    例4.求证:Cm??Cn. n

    n?m

    证明:∵Cn?

    m

    n!

    m!(n?m)!

    m?1n!

    ?

    n?m(m?1)!(n?m?1)!

    m?1

    ?Cn?m

    m?1n

    ?

    m?1n!

    ?

    (m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!

    m!(n?m)!

    ∴Cn?

    m

    m?1m?1

    ?Cn n?m

    x?1

    2x?3

    例5.设x?N?, 求C2x?3?Cx?12x?3?x?1

    解:由题意可得:? ,解得2?x?4, ?

    x?1?2x?3?

    ∵x?N?,∴x?2或x?3或x?4,

    当x?2时原式值为7;当x?3时原式值为7;当x?4时原式值为11.

    ∴所求值为4或7或11.

    例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:

    (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?

    (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

    分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.

    解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .

    (2)教练员可以分两步完成这件事情:

    第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有C17种选法; 第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有C11种选法. 所以教练员做这件事情的方法数有

    111C17?C11=136136(种).

    1

    11

    例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

    解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有

    C

    210

    ?

    10?9

    ?45(条). 1?2

    (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有

    2A10?10?9?90(条).

    例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .

    (1)有多少种不同的抽法?

    (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

    解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有

    C

    3100

    ?

    100?99?98

    = 161700 (种).

    1?2?3

    1

    (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C98种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有

    12C2?C98=9506(种).

    2

    (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2?C98种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有

    1221C2?C98+C2?C98=9 604 (种) .

    1

    2

    解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即

    33C100?C98=161 700-152 096 = 9 604 (种).

    说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。 变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?

    (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选; (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选; 例9.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法? 解:C6?C4?C2?90.

    (2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1

    2

    2

    2

    篇五:数学:1.2.2《组合》教案(新人教B版选修2-3)

    1.2.2组合

    课标要求:

    知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

    区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

    m

    过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数?m与组合数 掌握组合数公式,Cn之间的联系,n

    能运用组合数公式进行计算。

    情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:教学难点:授课类型:新授课课时安排:2课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:

    排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.

    能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

    学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题.

    排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程:

    一、复习引入:

    n类办法,在第一类办法中有m1种

    不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,??,在第n类办法中有mn种不同的方 N?m1?m2???mn2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的

    方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法3.排列的概念:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m.....4.排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号Anm5.排列数公式:Anm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(m,n?N?,m?n) n!表示正整数1到n的连乘积,叫做n0!?1.

    7.排列数的另一个计算公式:Anm=

    n!(n?m)!

    8.提出问题:

    示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

    示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2..

    二、讲解新课:

    n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组,叫做从n个不同

    元素中取出m例1.判断下列问题是组合还是排列

    (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

    (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?

    (4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合

    2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示. ...3.组合数公式的推导:

    (1)从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢?

    3

    m

    3

    启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求A4.........

    得,故我们可以考察一下C43和A43的关系,如下:组 合排列

    abc

    ????

    abc,abd,acd,bcd,

    bac,bad,cad,cbd,

    cab,dab,dac,dbc,

    acb,adb,adc,bdc,

    bca,bda,cda,cdb,

    cbadbadcadcb

    abd

    acdbcd

    由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A43,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有C43个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有A33种方法.由分步计数原理得:A43=C?A,所以,C

    34

    33

    34

    ?

    A4A

    3

    33

    (2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An,可以分如下两步: ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn;

    mmmm

    ② 求每一个组合中m个元素全排列数Am,根据分步计数原理得:An=Cn?Am.

    m

    m

    (3)组合数的公式:

    C

    mn

    ?

    An

    mm

    Am

    ?

    n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

    m!

    或Cm?n

    n!m!(n?m)!

    n

    (n,m?N,且m?n)?

    规定: C?1.

    三、讲解范例:

    例2.用计算器计算C10. 解:由计算器可得

    例3.计算:(1)C7; (2)C10;(1)解: C7?

    74

    7

    47

    7?6?5?4

    4!

    =35;

    =120.

    (2)解法1:C10?

    10?9?8?7?6?5?4

    7!

    7

    解法2:C10?

    10!7!3!

    ?

    10?9?8

    3!?C

    m?1

    n

    =120.

    例4.求证:Cm?n证明:∵Cm?n

    m?1n?m

    n!m!(n?m)!m?1

    m?1n?m

    ?C

    m?1

    n

    ?

    n?m(m?1)!(n?m?1)!

    n!

    ?

    n!

    m?1

    (m?1)!(n?m)(n?m?1)!

    n!m!(n?m)!

    ?C

    m?1n

    ?

    ∴Cn?

    m

    m?1n?m

    x?12x?3

    例5.设x?N?, 求C2x?3?Cx?1 解:由题意可得:??

    2x?3?x?1

    ,解得2?x?4,

    ?x?1?2x?3

    ∵x?N?,∴x?2或x?3或x?4,

    当x?2时原式值为7;当x?3时原式值为7;当x?4时原式值为11.

    ∴所求值为4或7或11.

    例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:

    (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

    分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.

    解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .

    (2)教练员可以分两步完成这件事情:

    第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有C17种选法; 第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有C11种选法. 所以教练员做这件事情的方法数有

    C17?C11=136136(种).

    11

    1

    1

    11

    例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?

    (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

    解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有

    C

    210

    ?

    10?91?2

    ?45(条).

    (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有

    A

    210

    ?10?9?90(条).

    例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1)有多少种不同的抽法?

    (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?

    (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

    解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有

    C

    3100

    ?

    100?99?981?2?3

    = 161700 (种).

    1

    (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C

    C2?C

    1

    298

    种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有

    298

    =9506(种).

    (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2 件

    1

    次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2?C

    298

    种,因此根据分类

    加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有

    C2?C

    1

    298

    2

    +C2?C

    198

    =9 604 (种) .

    解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即

    C100?C

    3

    398

    =161 700-152 096 = 9 604 (种).

    说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。 变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?

    (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选; (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选; 例9.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?

    222

    解:C6?C4?C2?90.

    (2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?

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