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不等式的基本性质_

不等式的基本性质

1、双休日,小明进行上网、 学习、体育运动的时间分别为a小 时、b小时、c小时. 已知a<b, b<c,则小明在这三项活动中,所 花时间最多的是哪一项? 体育运动
把a<b,b<c表示在数轴上
a b

c

∴a<c

若a ? b,b ? c,则a ? c.
这个性质也叫做
不等式的传递性.

> (1)若a ? 0,  0 ? b,则a ____ b. > (2)若m ? 2n,  2n ? p,则m ____ p.

双休日,小明、小慧会分别进行1小时 和0.5小时的体育运动. 由于运动会临近, 他们需要对参加的体育项目进行训练,两 1 人都增加了0.5小时的运动时间,请问增 加运动时间之后,谁的运动时间长?
小明 1> 0.5 1+0.5 > 0.5+0.5 1+1> 0.5+1 1+(-1)__0.5+(-1) > 1-2__0.5-2 > > 1-(-3)__0.5-(-3)

若a>b,则 > a+c__b+c ;
猜想
> a-c__b-c.

把a>b表示在数轴上, 不妨设c>0 c b b+c c

a a+c

∴a+c>b+c c b-c b

c
a-c a

∴a-c>b-c

不等式的两边都加上(或都减去) 同一个数,所得到的不等式仍成立. 即 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c; 如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c.

(1)若a<b,那么a+2



b +2

(2)若a>b,那么-5+a > -5+b
< a ? 1. (3)已知0 ? 1 ,则a ____

3 比较下列大小
(-4)__ > (-6) 当不等式的两边同乘 ( 或除 > (-6)×2 ( - 4) × 2 __ 8×4__ 12 × 4 <以)同一个正数时,不等号的方向 不变 (- 4)÷2__ > (-6)÷2 <_____ 8÷4__ 12 ÷4 ;而乘(或除以 )同一个负数 改变 时,不等号的方向____. 8__ < 12

> 12×(-4) 8×(-4)__
8÷(-4)__ > 12÷(-4)

(-4)×(-2)____( < -6)×(-2)

(-4)÷(-2)__ < (-6)÷(-2)

想一想:从上面的变化,,你发现了什么?

不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所 得的不等式仍成立; 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必 须把不等号的方向改变,所得到的不等式成立.
a b 如果a>b,且c>0,那么ac>bc, ? c c

a b ? 如果a>b,且c<0,那么ac<bc, c c

选择适当的不等号填空,并说明理由. < 5n. (1)若m ? n,则5m ____ a > b (2)若a ? b,则 ____ . 2 2 > ? 2b. (3)若a ? b,则? 2a ____

不等式的基本性质1: 若a<b,b<c,则a<c。

不等式的基本性质2:
如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c. 不等式的基本性质3:
a b 如果a>b,且c>0,那么ac>bc, ? c c
a b ? c c

如果a>b,且c<0,那么ac<bc,

选择适当的不等号填空:

> (1)若-a<b,则a____-b ;
7 8 7 ? ? x ? ? (2). ? x ? 1, 两边都乘? ? ?,得 ______ . 8 7 ? 8?

> ? 3b. (3)若 ? a ? ?b,则? 3a ____
7 ? 5 _. (4). 7 ? 5 ? 0, 两边都加上 5,得__________
2 (5)(a ?1) 2 ____ 0 ,  ( a ? 1 ) ? 2 ____ ≥ ≥ ? 2

.

设a>b,用“<”或“>”填空并口答 是根据哪一条不等式基本性质。

> (1) a - 3____b - 3; > (2)a÷3____b ÷3 > (3) 0.1a____0.1b; < (4) -4a____-4b > (5) 2a+3____2b+3; > (m2+1)b (6) (m2+1) a ____

解:设加薪前老王和小张的月 工资分别为a元、b元. 由题意得, a>b,且a<2b
加薪10%后,老王的月工资为 1.1a元,小张的月工资为1.1b元. 由不等式的基本性质3可知 1.1a>1.1b,且1.1a< 2.2b 即加薪后,老王的工资仍比小张的工资高, 但低于两倍.

判断下列各题的推导是否正确? (1)因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7; (2)因为a+8>4,所以a>-4; (3)因为4a>4b,所以a>b; (4)因为-1>-2,所以-a-1>-a-2; (5)因为3>2,所以3a>2a.

针对练习
1、若m>n,判断下列不等式是否正确:

(1)m-7<n-7
(2)3m<3n (3)-5m>-5n (4)
m n ? 9 9

填空:
正 数 (1) ∵ 2a < 3a , ∴a是____

(2) ∵

a a ? 2 3

正 数 , ∴a是____

(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 数 ∴a是____

1、已知 a < - 1 ,则下列不等 式中错误的是( B )
A、4a < - 4 C、a + 2 < 1 B、- 4a D、2 – a > 3

2、已知a>b,若a<0,则a2 < ab; 若a>0,则a2 > ab.

已知x>y,试比较-2x和-2y的大小, 变式1:比较a-2x和a-2y的大小 a ? 2y a ? 2x 变式2:比较 和 的大小 3 3
变式3: 若x>y,且(a-3)x<(a-3)y, 求a的取值范围。

变式4:若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小?

老王和小张同在一家公司工 作,老王每月的工资原来比小 张高,但是不到他的两倍。新 年开始时,公司给他们同时加 薪10%,问加薪后老王的工资仍 比小张的工资高,但低于两倍 吗?


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